%0 Journal Article 
%A Ortiz Herranz, Pedro
%T Research on certain properties of an adapted nonlinear reconstruction operator on nonuniform grids

%D 2021
%U http://hdl.handle.net/10317/10500
%X [SPA]  Esta tesis doctoral se presenta bajo la modalidad de compendio de publicaciones. Los esquemas de subdivisión y multiresolucion se han utilizado en las últimas décadas en muchas aplicaciones que requieren del diseño geométrico. Estas aplicaciones son numerosas en la industria, por ejemplo, para la fabricación de coches y barcos, y también en la industria cinematográfica para generar diferentes formas tanto en 2D como en 3D: Los esquemas de subdivisión se basan en un proceso de refinamiento sucesivo de un conjunto inicial de datos discretos. Se genera un nuevo conjunto de datos más denso de acuerdo con algunas reglas específicas. A su vez, este nuevo conjunto se refinará aún más. En este punto surgen diversas cuestiones matemáticas importantes, y que van desde asegurar la convergencia de los esquemas a estudiar la suavidad de la función límite, la estabilidad de los esquemas de subdivisión, el orden de aproximación y los requisitos necesarios para su aplicabilidad en problemas de la vida real. En particular, es importante el análisis de las capacidades de preservación de los esquemas para algunas propiedades cruciales que podrán estar presentes en el conjunto inicial de datos, tal como la convexidad. Los esquemas de subdivisión generan algoritmos rápidos para la fácil construcción de curvas y superficies [26], [29]. Todas estas cualidades los convierten en una herramienta interesante para diversas aplicaciones industriales. Además, su estrecha relación con esquemas de multirresolución abre la puerta a más aplicaciones en el campo del procesamiento de datos y señales. Los procesos de compresión y eliminación de ruido son fáciles de implementar mediante el uso de esquemas de multiresolución y se ha comprobado que son bastante eficientes. Véase, por ejemplo [35], [5], [2]. Una cuestión principal a la hora de elegir un esquema de subdivisión adecuado es la propiedad de conservación de la convexidad, porque muchas aplicaciones la requieren. Se han hecho muchos esfuerzos en este sentido, véase por ejemplo [27], [32], [33], [37]. La estabilidad es también un problema principal en las aplicaciones de la vida real, ya que los diseños finales se generan mediante el refinamiento de un conjunto inicial de puntos que suele estar afectado por algún error. Por lo tanto, es esencial hacer un seguimiento del error y mantenerlo por debajo de una tolerancia prescrita. Algunas referencias recomendadas sobre la estabilidad de los esquemas de subdivisión y multiresolución pueden consultarse en [24], [9], [11], [1], [3], [15]. Harten derivó una teoría que conecta estrechamente los operadores de reconstrucción con los esquemas de subdivisión y multiresolución [35], [5]. Las reconstrucciones no lineales aparecen como una buena opción para minimizar los efectos adversos de las posibles singularidades y para mejorar la adaptación a los datos dados. Esta teoría no es tan fácil de estudiar como para el caso lineal. Los operadores de reconstrucción no lineales dan lugar a esquemas de subdivisión y multiresolución no lineales. Para dejar claro el tipo de dificultades que se pueden encontrar, mencionamos por ejemplo el caso del análisis de estabilidad. A este respecto, se ha demostrado que todos los esquemas de subdivisión y multiresolución lineales son estables, mientras que se necesita un análisis particular para cada esquema no lineal concreto. Los esquemas de multiresolución están profundamente conectados con los esquemas de subdivisión y heredan muchas de sus propiedades. Para más información sobre estas herramientas se puede consultar [5] como primera referencia. En [6] se introdujo una reconstrucción no lineal denominada PPH y se estudio el esquema de subdivisión asociado. Esta reconstrucción se definió con el fin de adaptarse a la presencia de potenciales singularidades. Consiste en una modificación ingeniosa de la interpolación centrada de cuarto orden de Lagrange a trozos. Para implementar la adaptación, la reconstrucción se realiza localmente en un intervalo [xj ; xj+1] usando los valores disponibles de la función en las cuatro abscisas centradas fxj􀀀1; xj ; xj+1; xj+2g; y teniendo en cuenta dos aspectos principales. El primer aspecto es que la modificación en un área donde la función subyacente es suave debe hacerse de tal manera que las cantidades alteradas no cambien significativamente, de modo que la modificación siga siendo O(h4); donde h representa el espaciado del mallado. El segundo aspecto es que, en los intervalos adyacentes a una singularidad, pero que no la contienen, la reconstrucción conserve cierto orden de aproximación, de hecho O(h2); al contrario de lo que ocurre con su homólogo lineal que pierde completamente el orden de aproximación. Esta tesis se dedica principalmente al estudio del operador de reconstrucción no lineal PPH en mallados no uniformes. En algunos casos y para demostrar determinados resultados teóricos haremos uso de mallados σ cuasi uniformes, que no son otra cosa que un tipo de mallados no uniformes que aparecen en casi todas las aplicaciones prácticas. La definición exacta se da más adelante.

%K Matemática Aplicada
%K Arquitectura naval
%K Construcción naval
%K Construcción de algoritmos
%K Interpolación, aproximación y ajuste de curvas
%K 12 Matemáticas
%K 1206.07 Interpolación, Aproximación y Ajuste de Curvas
%~ GOEDOC, SUB GOETTINGEN