Aproximación numérica de flujos de potenciales no regulares

Abstract

El objeto de este proyecto es estudiar la aproximaci´on num´erica de ecuaciones diferenciales con términos multivaluados generados por subdiferenciales de funciones (potenciales) convexas. La idea b´asica es usar la regularización de Yosida para obtener un “problema regularizado” que en cierta forma constituye una aproximación del problema original y a continuaci´on utilizar métodos num´ericos de aproximación para resolver el nuevo problema regularizado. La idea de utilizar la regularizaci´on de Yosida como aproximación de la subdiferencial es clásica en el campo del An´alisis Convexo y se ha venido utilizando desde los años 70 del siglo pasado para obtener demostraciones teóricas de existencia de solución. Sin embargo, sorprendentemente, no se han explorado convenientemente sus implicaciones num´ericas. En realidad la aproximación num´erica de las soluciones de este tipo de inclusiones diferenciales se ha basado fundamentalmente en dos ideas • Métodos ad hoc para cada caso concreto que aproximan la función convexa mediante una función regular que les permite resolver el problema aproximado, pero que no proporcionan una metodología general que pueda ser usada de forma sistemática. Adem´as suelen usarse en casos relativamente sencillos en que la funcióon convexa solamente depende de una variable (por ejemplo, el valor absoluto). • Obtener selecciones de la subdiferencial y aplicar m´etodos de discretizaci´on, lo que requiere conocer, aunque sea de forma aproximada, el conjunto subdiferencial en cada punto, lo que no es en absoluto elemental, por ejemplo cuando se tienen funciones convexas definidas mediante supremos de familias de funciones. Frente a estas técnicas, la metodolog´ıa que proponemos en este proyecto es válida para cualquier función potencial convexa, independientemente de su número de variables y no es necesario conocer en absoluto la estructura de la subdiferencial. Se trata adem´as de una técnica general, ya que se puede aplicar a m´ultiples problemas y flexible ya que el cálculo de la regularizaci´on de Yosida puede combinarse con cualquier m´etodo numérico de aproximación de ecuaciones diferenciales ordinarias. Es también remarcable que puede probarse la convergencia de los esquemas obtenidos usando la discretización de Euler y que los experimentos numéricos realizados sugieren asimismo la convergencia de los esquemas de Runge-Kutta. Adem´as su implementación en Matlab resulta relativamente cómoda y satisfactoria, como hemos constatado a lo largo de múltiples simulaciones. Esta memoria comienza desarrollando los fundamentos teóricos acerca del análisis convexo e inclusiones diferenciales asociadas a subdiferenciales. Hemos decidido incluir un resumen de los principales conceptos y resultados dado que se trata de un tópico que no está incluido en los contenidos de Matemáticas de los estudios de Ingeniería. Una vez comentados los conceptos téoricos para la comprensión de la memoria, el siguiente capítulo denominado Algoritmos se ha descrito la estructura de los algoritmos, utilizando los métodos numéricos de Euler y Runge-Kutta, y de los códigos programados en Matlab. A continuación se describen diferentes escenarios según el tipo de problema que se nos pueda presentar. Se finaliza cada escenario del cap´ıtulo ejemplificando lo explicado mediante simulaciones num´ericas. En el cap´ıtulo de Experimentos Num´ericos se estudian problemas m´as complejos donde no se conozca expl´ıcitamente la expresi´on de ϕ. Con ello se realizan varios experimentos num´ericos en cada uno de los escenarios ya descritos anteriormente que permiten observar la bondad de los m´etodos. Una parte importante de la memoria la forma la parte asociada a las aplicaciones de nuestros m´etodos, donde se estudian casos de an´alisis de circuitos el´ectricos no lineales y tambi´en sistemas mec´anicos que poseen fricci´on dry o de Coulomb. En este cap´ıtulo se describe el modelo f´ısico y matem´atico de cada una de las aplicaciones. Seguidamente se realiza una adaptaci´on de dicho problema a nuestros algoritmos implementados, y con ello se obtienen resultados visibles y con aplicaci´on pr´actica. Por ´ultimo se presentan los c´odigos programados en Matlab en los Anexos finales de la memoria, donde en ellos se pueden consultar cada uno de los algoritmos comentados durante la memoria y alg´un otro m´as a˜nadido.