Simulación numérica del control exacto en la frontera para el sistema de la elasticidad lineal en 2D

Abstract

El objetivo de este proyecto es utilizar la teoría de la controlabilidad exacta para resolver el problema de control exacto en la frontera para el sistema de la elasticidad lineal. Dicho de otra forma, buscamos calcular el control que hay que aplicar sobre la frontera de un cuerpo elástico de modo que éste, en un cierto tiempo, se estabilice en el estado nulo. Para entender esto, veamos primero algunos conceptos básicos. Llamamos sistema a un conjunto de elementos interconectados y que se relacionan entre sí de modo diferente a como lo hacen con el exterior del sistema, al que llamamos entorno, de forma que puede considerarse un todo homogéneo. El límite entre el sistema y su entorno se denomina frontera. Este sistema puede representar desde la economía de un estado hasta una planta indus- trial, y su comportamiento viene descrito por una serie de ecuaciones (algebraicas, diferen- ciales, etc.). En el caso que nos ocupa, el sistema sería un cuerpo elástico cualquiera, y su comportamiento vendría modelado por un sistema de ecuaciones en derivadas parciales (dos en el caso bidimensional) que constituyen lo que llamamos el sistema de la elasticidad lineal. Podemos decir que al aplicar el control sobre un sistema lo que buscamos es forzarlo a que se comporte del modo en que nosotros le dictemos. Así, podemos lograr que nuestro sistema se comporte de modo óptimo, por ejemplo, en forma de productividad máxima, beneficio máximo, costo mínimo o utilización mínima de energía, o controlar de forma precisa el movimiento de un robot industrial.En las ultimas décadas, el control ha cobrado una importancia creciente, hasta el punto de que hoy en día resulta difícil concebir una industria que no lo incorpore en algún punto de su proceso productivo. Un aspecto de particular interés en ingeniería es el control de vibraciones. Las vibraciones suponen una constante fuente de problemas: roturas por fatiga, mal funcionamiento, ruidos. . . Así, en los últimos tiempos, cada vez más estructuras, como edificios altos, brazos robot o vehículos espaciales incorporan en su diseño algún tipo de control activo de vibraciones.Puesto que nuestro sistema de la elasticidad lineal modela un cuerpo elástico sometido a vibración, el control exacto de frontera de dicho sistema equivale a calcular cómo hemos de actuar sobre su frontera de forma que eliminemos por completo las vibraciones. El interés de este problema es innegable, por tanto, no sólo desde un punto de vista teórico, sino también del de su posible aplicación en ingeniería.Desde un punto de vista teórico, este problema ha sido estudiado y resuelto, en las últimas décadas, por distintos caminos. Véase, por ejemplo, [Russ 73], [Lions 88]. Desde el punto de vista numerico, si bien se han obtenido progresos en los ultimos años, el problema del cálculo numerico del control en la frontera para este tipo de problemas aun es un reto. La principal dificultad proviene del hecho de que algunos métodos numéricos que son estables al resolver problemas de valor inicial y/o frontera no convergen cuando se trata de controlar el sistema. En un proyecto fin de carrera anteriormente defendido en esta misma escuela, [Vill 08], se aplicó el método de Russell para simular numéricamente el control exacto de frontera en el caso de la ecuación de ondas; nuestro objetivo en el presente trabajo será emplear el mismo procedimiento para el caso, algo más complejo, del sistema de la elasticidad lineal. La principal dificultad radica en que, al contrario de lo ocurre con la ecuacion de ondas, nuestro sistema no tiene solución explícita. La estrategia que seguiremos, como se vería más adelante, sería aplicar la transformada de Fourier al sistema de ecuaciones en derivadas parciales transformándolo en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que sí podremos resolver.