Matemática aplicada a ciertos problemas de la edificación

Abstract

Los problemas de álgebra lineal como, por ejemplo, sistemas de ecuaciones lineales o problemas de mínimos cuadrados, aparecen en un amplio abanico de aplicaciones de casi todas las áreas científicas y tecnológicas. En particular, problemas de este tipo surgen en el análisis de la resistencia de estructuras de hormigón, cálculo de estructuras, la estimación de la órbita de los electrones, la evaluación del campo gravitatorio terrestre, la simulación de circuitos VLSI, el control automático, el diseño de circuitos integrados, la simulación de reacciones químicas, el estudio de las propiedades de nanocristales semiconductores, la detección de oclusiones en vasos sanguíneos mediante resonancia magnética, o la simulación del comportamiento de componentes estructurales de aviación. Esta relación no pretende ser más que una breve muestra de la variedad de aplicaciones en las que aparecen problemas de Álgebra Lineal. Así mismo, durante la resolución de estos problemas, aparecen repetidamente un conjunto reducido de operaciones básicas como el cálculo del producto escalar de dos vectores, la resolución de un sistema triangular de ecuaciones lineales o el producto de dos matrices, sin embargo, para llegar a la solución final hay que realizar usualmente un proceso matemático muy laborioso, pero con la evolución de la informática y los ordenadores, este trabajo es mucho más sencillo. Este trabajo que se desarrolla en cuatro capítulos: Álgebra Lineal, Programación Lineal, No Linealidad 1 y No Linealidad 2, en los que se van a evaluar principalmente tres aplicaciones distintas a la Edificación mediante la resolución de deformaciones, de averías eléctricas y de la solución más óptima a un problema con limitaciones mediante la presentación de diferentes problemas. Seguimos el texto recientemente publicado [Moreno et alt. 2011]. El primer capítulo, Álgebra Lineal, se centra en el cálculo matricial para el cálculo de estructuras en edificación. Como primer objetivo, determinamos las fuerzas y deformaciones que se producen en las estructuras al aplicarles cargas. Para ello, realizamos una selección de varios ejercicios relativos al cálculo de estructuras mediante el método matricial. El segundo capítulo, Programación Lineal o Método Simplex, se centra en la búsqueda de la mejor solución, es decir, partiendo de la función objetivo donde la solución óptima de un problema de Programación Lineal se encuentra en un vértice o frontera del dominio de puntos factibles (esto último en casos muy especiales), por lo cual, la búsqueda secuencial del algoritmo se basa en la evaluación progresiva de estos vértices hasta encontrar el óptimo. El tercer capítulo, No Linealidad 1, se centra en la localización exacta de las averías con el fin de evitar un posible contacto directo de alguno de los operarios, así como para volver a restituir el servicio de iluminación. Y el último capítulo, No Linealidad 2, se centra en varios problemas de aplicación en obra como por ejemplo, una puesta a tierra de una nave, puesta en marcha de una grúa. En conclusión, este trabajo recoge distintas aplicaciones de las matemáticas en general y del álgebra, lineal y no lineal en particular, a la Edificación mediante la presentación de ejemplos representativos siguiendo lo expuesto en [Moreno et alt. 2011]. Creemos que la aportación presentada es interesante ya que para cualquier tipo de cálculo en un proyecto de edificación, como por ejemplo, calcular una simple viga, una avervía eléctrica, una solución óptima, un desplazamiento, un asentamiento, ... es importante tener un amplio conocimiento de los rudimentos y herramientas matemáticas que nos lo posibilitan.