Formulación de modelos deformables paramétricos multidimensionales en el dominio de la frecuencia

Abstract

[SPA] Los modelos deformables son metodos matemáticos que se utilizan para delinear los bordes o parte externa de objetos por medio de curvas, superficies o volúmenes que se deforman bajo la influencia de fuerzas internas y externas. Estos modelos se han utilizado ampliamente en las últimas tres décadas debido a su amplio abanico de aplicaciones en las áreas del procesamiento de imagen y la visión por computador. La principal motivación para el empleo de los modelos se fundamenta en la necesidad de disponer de herramientas fiables que permitan analizar, modelar y reconstruir conjuntos de datos. Lo obtención de estas herramientas supone un reto, puesto que deben ser capaces de recuperar información de alto nivel a partir de señales de bajo nivel, reduciendo al mínimo el impacto del ruido y otros efectos no deseados. En el enfoque original, los modelos paramétricos quedan determinados a partir de la minimización de un funcional de energía por medio de la ecuación de Euler-Lagrange. Para la discretización de las variables espaciales se utiliza el método de elementos finitos. La forma y posición del modelo se deriva de un sistema en ecuaciones en derivadas parciales (PDE) de segundo orden, el cual se obtiene al aplicar el cálculo variacional al funcional de energía. Esta tesis doctoral presenta un nuevo enfoque de los modelos deformables paramétricos, justificando asimismo su validez. El propósito de este trabajo es extender la teoría clásica a la formulación de modelos deformables multidimensionales, trasladando al mismo tiempo la formulación y el proceso iterativo al dominio de Fourier. El interés de este nuevo enfoque reside en analizar, caracterizar y segmentar información extraída de conjuntos de datos multidimensionales mediante un procedimiento más rápido y eficiente que las aproximaciones anteriores. Además, se ha desarrollado un método para el diseño óptimo de los parámetros dinámicos del modelo. Este método está basado en el espectro de los datos a procesar. Así, el método permite optimizar el sistema iterativo con el fin de aumentar la velocidad de la adaptación al conjunto de datos bajo análisis. Junto a este método se lleva a cabo un análisis de la estabilidad y convergencia del modelo. Finalmente la formulación propuesta es validada en diferentes conjuntos de datos tridimensionales estáticos y dinámicos. En concreto, los modelos propuestos se utilizan para la caracterización de datos topográficos, segmentación de imagen médica (3D y 4D) y para la simulación de tejidos blandos.

[ENG] The shape of the model is usually determined from the minimization of an energy functional through an iterative process. The final state is achieved when equilibrium is reached between internal and external forces. This can result either in a static or in a dynamic scenario, i.e. when the data does not or does change over time, respectively. Thus, the deformable model is able to emulate the shape and physical properties of objects, in particular those with non-rigid motion or deformation. Deformable models are mathematical methods used for delineating boundaries of objects by means of curves, surfaces or volumes that deform under the influence of internal and external forces. The foundations of these mathematical models draw from the areas of Geometry, Physics and Approximation Theory. Geometry allows the representation of shape and position of the objects and the constraints on them placed by their physical properties. Finally approximation theory provides the means for the fitting of the models to the target data. These models have been used and further developed extensively in the last three decades due to their wide range of applications in the field of image processing and computer vision. The main motivation is to provide reliable tools to analyze, model and reconstruct datasets where the challenge lies in retrieving high-level information from low-level signals while minimizing the impact of noise and other unwanted effects. Among their vast range of applications are pattern recognition, object and motion tracking as well as image segmentation. In addition, their usage in the simulation of soft tissue, computer animation and non-destructive testing of products makes these models particularly valuable. Furthermore, in the field of medical imaging, the widely recognized value of deformable models arises from their ability to segment, match and track images of anatomic structures exploiting features derived from datasets. The name “deformable models” stems from the use of elasticity theory at the physical level, generally within a setting of Lagrangian dynamics. This allows us to consider deformable models as elastic bodies which respond naturally to applied forces and constraints. Let us first consider the internal forces of the model. The internal forces and constraints provide the physical characteristics to the model, such as elasticity, stiffness or mass. Typically, deformation energy functions defined in terms of the geometric degrees of freedom are associated with the deformable model. Thus, the internal forces are defined in order to preserve the smoothness in the shape of the model. In addition, taking a physics-based view of classical optimal approximation, external potential energy functions are defined in terms of the data to which the model is to be fitted. These potential energies give rise to external forces, which drive the model to follow the shape and position of the data.