Entropías topológica y de permutación. Aplicación a la dinámica económica.

Abstract

[SPA] La entropía es la noción conductora de esta memoria, tanto en el contexto de los sistemas dinámicos discretos como en su aplicación al análisis de series temporales. El Capítulo 1 lo hemos dedicado a una pequeña introducción donde hablamos del origen de la palabra entropía, de la relación de la misma con la Física, La Economía, La Ecología, etc. Definimos no formalmente lo que se entiende por un sistema dinámico y damos algún ejemplo. Nuestro Capítulo 2 reúne una serie de conceptos y propiedades que serán de gran utilidad al lector, para la mejor compresión de esta memoria. Sería en nuestro Capítulo 3 donde introduciremos nuestra nueva definición de entropía topológica ent(f) y comprobaremos como de buena puede llegar a ser, cuando tratamos con funciones definidas en conjuntos no compactos, que modelan algunos fenómenos de las ciencias experimentales y en particular de la economía. A ent(f) la denominaremos entropía Cánovas-Rodriguez de la función f, que se inspira en cierto sentido, en la definición establecida por Gurevic para el caso de los homeomorfismos shift. Una vez establecida dicha definición, comprobaremos que cumple la mayoría de las propiedades clásicas de la entropía topológica introducidas para compactos, con anterioridad por otros autores. También es cierto que esta definición sí verifica la Filosofía de que si una función presenta entropía Cánovas-Rodriguez positiva la función tiene una dinámica compleja. Es el Capítulo 4 el que dedicaremos a poner de manifiesto el uso de la entropía como medida de la dependencia entre series temporales. Más concre- tamente utilizaremos el concepto de entropía de permutación para construir un test consistente de independencia entre series temporales que se distribuye asintóticamente como una Chi-cuadrado. En el Capítulo 5 estableceremos algunas relaciones entre la entropía topológica y la de permutación para funciones definidas en la recta real. También demostraremos algunas propiedades que satisface la entropía de permutación. Después pasaremos a comprobar como hay ocasiones en que ambas definiciones coinciden como por ejemplo, para funciones monótonas con un número finito trozos en el intervalo. También veremos como para una fun- ción f definida en la recta real tal que f no tiene un núumero finito de trozos, entonces ent(f) es distinta de su entropía de permutación, tal como ocurre para las funciones definidas en el intervalo.

[ENG] Entropy is the driving concept of this thesis, both in the context of discrete dynamical systems and in its application to time series analysis. Chapter 1 is devoted to a brief introduction where we discuss the origin of the word entropy. Its relationship with physics, economy, ecology, etc. Then we not formally introduce what is meant by a dynamical system and we give some examples. Our Chapter 2 brings together a number of concepts and properties that will be useful to the reader, to better understand the following chapters. In Chapter 3 we introduce our new definition ent(f) of entropy for functions defined in non-compact sets, which is very common when modeling some phenomena of the experimental sciences and especially economics. This new concept of entropy is what we cal Canovas-Rodriguez entropy which is inspired in a sense, in the definition given by Gurevic for the case of homeomorphism shift. It is also checked that this definiton of entropy meets most of the classical properties of topological entropy. This definition verifies that if a function presents positive Canovas-Rodriguez entropy then the function has complex dynamic. Chapter 4 is devoted to highlighting the use of entropy as a measure of dependence among time series. Moreover we use the concept of permutation entropy to construct a consist test for independence that asymptotically distributes as a Chi-Square distribution. Chapter 5 establishes some relations between topological entropy and permutation entropy for functions defined in the real line. We also show some properties that are satisfied by permutation entropy. Then we will check when both definitions coincide, for example for piecewise monotonous functions in the interval with a finite number of pieces. We will also see that if f is a function defined in the real line with an infinite number of pieces, then ent(f) is not equal to permutation entropy of f.